Aarhus University Seal / Aarhus Universitets segl

Baseopskrivning, dynamiske systemer og fraktaler

Jonas Lindstrøm Jensen
Foredrag for studerende
Fredag, 11 februar, 2011, at 14:30-15:30, in Aud. D4 (1531-219)
Abstrakt:
Ethvert tal $x \in [0,1)$ kan skrives i base $q$ for et helt tal $q \geq 2$. Denne opskrivning hænger nøje sammen med afbildningen $T: [0,1) \to [0,1)$ defineret ved $Tx = qx \pmod 1$, idet det $i$'te ciffer er $x_i = q [T^i x]$ hvor $[\cdot]$ er heltalsdelen af et tal. Denne afbildning er et eksempel på et dynamisk system, og det viser sig, at det giver et spændende dynamisk system, der opfører sig pænt mht. Lebesguemålet. Vi vil her nævne Furstenberg's formodning, der omtaler sammenhængen mellem to sådanne systemer, fx for q=2 og q=3.

Se ser vi på de tal, hvis bane under afbildningen $T$ ikke er tæt, hvilket giver en nulmængde. Det kunne fx svare til at fjerne nogle cifre fra baseopskrivningen, som i et tilfælde giver den berømte Cantormængde. De mængder man får frem på den vis, er fraktaler, og vi vil i den forbindelse kort omtale Hausdorffdimension, og finde Hausdorffdimensionen for nogle af disse fraktaler.

Hvis vi vi får tid, vil vi se, at dette generaliserer naturligt til højere dimension, ved at erstatte $q$ med en matrix med heltalsindgange og positive, heltallige egenværdier.

Det vil være en fordel, at have haft målteori, men det meste af foredraget kan også forstås uden.

Kontaktperson: Søren Fuglede Jørgensen