Aarhus University Seal / Aarhus Universitets segl

Mazurs gås – eller: om baser for uendeligtdimensionale vektorrum

Thomas Lundsgaard Schmidt
Foredrag for studerende
Fredag, 2 december, 2011, at 14:30-15:30, in Aud. D3 (1531-215)
Abstrakt:
Enhver der har lavet den mindste smule lineær algebra vil vide, hvor rart det er at have en basis for et vektorrum. En basis siger en masse om vektorrummets struktur – eksempelvis er en lineær afbildning mellem vektorrum bestemt entydigt ved, hvad den gør ved basiselementerne. Bor ens vektorrum i $\mathbb{R}^n$, $\mathbb{C}^n$ har man også eksplicitte metoder til at konstruere en basis, og alting er venligt og rart.

Nu findes der imidlertid ganske mange vektorrum, der ikke er $\mathbb{R}^n$ eller $\mathbb{C}^n$ – f.eks. Hilbertrum eller diverse funktionsrum –, og så bliver situationen en anelse mere speget. Hvordan skal vi tale om baser for vektorrum, der ikke på noget fornuftig måde har endelig dimension? Foredraget vil tage udgangspunkt i dette spørgsmål; for vektorrum i almindelighed og for Banachrum i særdeeshed. Vi skal se, at alle vektorrum har en basis (i lineær algebra-forstand) – bagefter skal vi se, at dette resultat ikke er syndeligt brugbart. I stedet skal vi definere en anden slags baser – de såkaldte Schauderbaser –, der er langt mere nyttige i studiet af Banachrum, og vi skal se et par eksempler på disse. Med andre ord bliver foredraget en syndig blanding af lineær algebra, analyse og abstrakt nonsens.

Til slut vil jeg fortælle, hvordan man kan vinde en levende gås ved at være hård til funktionalanalyse.

Jeg vil så vidt muligt definere de begreber, jeg får brug for undervejs – men en god del af foredraget vil nok give mest mening, hvis man har fulgt (eller følger) Reel Analyse eller et tilsvarende kursus.
Kontaktperson: Søren Fuglede Jørgensen