Aarhus University Seal / Aarhus Universitets segl

$p$-adiske tal

Steffen Højris Pedersen
Foredrag for studerende
Fredag, 14 december, 2012, at 14:30-15:30, in Aud. D3 (1531-215)
Abstrakt:
Vi ved godt at de $\mathbb{Q}$ ligger "pænt" som en delmængde af $\mathbb{R}$ i den forstand at enhver Cauchy følge konvergerer, så $\mathbb{R}$ er en "pæn" udvidelse af $\mathbb{Q}$.

Vi kan også lave andre "pæne" udvidelser af $\mathbb{Q}$, hvor vi i stedet for at udvide m.h.t. absolutværdien $|\cdot|$, udvider med den $p$-adiske absolutværdi $|\cdot|_p$ hvor $p$ er et primtal. Resultatet bliver de $p$-adiske tal $\mathbb{Q}_p$, som på visse måder minder om $\mathbb{R}$, men den intuitive forståelse af $\mathbb{R}$ som en tallinje bryder sammen.

Jeg vil i foredraget fortælle hvordan vi konstruerer $\mathbb{Q}_p$, give eksempler på hvorfor de minder om $\mathbb{R}$, og eksempler hvor vores intuition bryder sammen.

For eksempel konvergerer rækken
  \[\sum_{n=1}^\infty n!,\]
og givet to kugler i $\mathbb{Q}$ snitter de enten tomt, eller den ene er indeholdt i den anden. Jeg vil også give eksempler på hvordan de indenfor talteorien kan bruges til at løse visse problemer.

Foredraget vil bygge meget på eksempler, og vil være forståeligt fra første år.
Kontaktperson: Søren Fuglede Jørgensen