Aarhus University Seal / Aarhus Universitets segl

Diofantisk Approksimation: Fra Dueslag til Dynamik

Morten Hein Tiljeset
Foredrag for studerende
Fredag, 15 november, 2013, at 14:30-15:30, in Aud. G2 (1532-122)
Abstrakt:
Det er velkendt at de rationelle tal er tætte i de reelle tal. I Diofantisk approksimation er vi interesserede i hvor tætte de rationelle tal er, i den forstand at vi givet a i R og e > 0 ønsker at finde ud af hvor stor nævneren skal være for at

|a-p/q| < e.

En elementær sætning af Dirichlet giver et optimalt svar i det generelle tilfælde, hvilket leder os til spørgsmålet om hvilke tal der har exceptionelle approksimationsegenskaber. Hertil er kædebrøkerne et nyttigt værktøj.

Mere generelt er vi interesserede i simultan approksimation af flere reelle tal med brøker der har samme nævner. Dirichlets argument virker stadigvæk, men kædebrøkerne lader sig ikke nemt generalisere. Vi introducerer her rummet af Euklidiske gitre og ser gennem tegninger hvordan kædebrøkerne hænger sammen med geodætiske strømninger i dette rum. Generaliseringen af dette er kendt som Dani's korrespondence princip, som giver en ordbog mellem Diofantisk approksimation og visse strømninger i rummet af Euklidiske gitre.

Foredraget er rettet mod et generelt matematisk publikum, og kræver intet kendskab til talteori eller dynamiske systemer.
Kontaktperson: Thomas Lundsgaard Schmidt