Aarhus University Seal / Aarhus Universitets segl

Grænsecykler og Shi Songlings ligning

Tue Thulesen Dahl
Foredrag for studerende
Fredag, 5 september, 2014, at 15:15-16:15, in Aud. D4 (1531-219)
Abstrakt:
En grænsecykel for en differentialligning er en periodisk løsningskurve, der i en vis forstand tiltrækker løsningskurver tilstrækkeligt tæt på sig. I planen kan vi konstruere differentialligninger givet to polynomier af grad højst $n$, og vi kan så spørge os selv om, hvor mange grænsecykler en sådan differentialligning har. Den minimale øvre grænse, når vi varierer de to polynomier, kaldes for det $n$'te Hilberttal $H_n$. Jeg vil gennemgå de essentielle dele af mit bachelorprojekt, der gik ud på at vise, at Shi Sonlings ligning giver anledning til mindst fire grænsecykler, så $H_2 \geq 4$. For at vise eksistensen af disse grænsecykler bruges Poincaré-Bendixson sætningen, der vil kræve en forståelse for dynamiske systemer, og deres relation til differentialligninger. Argumentet vil bero på en kompaktificering af planen, og for at få det til at virke må vi stifte bekendtskab med separatrixløsninger for saddelpunkter, perturbering af vektorfelter og Lyapunov Focus Quantities.

For at forstå hovedargumentet behøves kun Differentialligninger, men for at kunne gå argumenterne efter i bedene skal man nok have haft Geometri.
Kontaktperson: Thomas Lundsgaard Schmidt