Aarhus University Seal / Aarhus Universitets segl

$\beta$-ekspansioner

Peter Skovlund Madsen
Foredrag for studerende
Fredag, 19 september, 2014, at 15:15-16:00, in Aud. D4 (1531-219)
Abstrakt:
En $ \beta $-ekspansion af et reelt tal $ x \geq 0 $ er en opskrivning på formen

\[ x  = \frac{\varepsilon_{-k}}{\beta^{-k}} + \frac{\varepsilon_{-k+1}}{\beta^{-k+1}} + \frac{\varepsilon_{-k+2}}{\beta^{-k+2}} + \cdots = \sum\limits_{n=-k} ^{\infty} \frac{\varepsilon_{n}}{\beta^{n}}, < br > \]
hvor $ \beta $ er et reelt tal større end 1, og hvor koefficienterne $ \varepsilon_n $ er bestemt ud fra $ x $ og $ \beta $.
Vi vil i første omgang koncentrere os om at definere $ \beta $-ekspansioner og argumentere for at de eksisterer.
Herefter vil vi undersøge, hvornår $ \beta $-ekspansionerne opfører sig særdeles pænt.
Mere præcist, lad $ \text{Fin} \left( \beta \right) $ betegne mængden af tal $ x \geq 0 $, der opfylder, at $ \beta $-ekspansionen af $ x $ er endelig.
Vi vil finde to nødvendige (men ikke tilstrækkelige) betingelser for, hvornår ligheden
\begin{equation*}
    \text{Fin} \left( \beta \right) = \mathbb{Z} \left[ \beta^{-1} \right] \cap \left[0,\infty \right)
\end{equation*}
er opfyldt.
Undervejs vil vi støde ind i algebraiske heltal og få brug for at anvende Perron-Frobenius' sætning for primitive matricer.
Jeg vil bestræbe mig på at holde foredraget på et niveau, så man har mulighed for at forstå det meste, hvis man har haft kurset algebra.
Kontaktperson: Thomas Lundsgaard Schmidt