Aarhus University Seal / Aarhus Universitets segl

Den Centrale Grænseværdisætning

Søren Mikkelsen
Foredrag for studerende
Fredag, 7 november, 2014, at 15:15-16:00, in Aud. D4 (1531-219)
Abstrakt:
Den klassiske version af Den Centrale Grænseværdisætning (CLT) siger, at for en følge af uafhængige identiske foredelte stokastiske variable $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ defineret på et sandsynlighedsfelt $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ med middelværdi $\mu$ og varians $\sigma^2 > 0$, gælder
%
\begin{align*}
  S_n=\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i - \mu)}{\sigma \sqrt{n}}
 \rightarrow^{\mathcal{D}} N(0,1).
\end{align*}
Dette kan ækvivalent formuleres som at for alle $x\in\mathbb{R}$ gælder
\begin{align*}
  \lim _{n \rightarrow \infty} \lvert F_n (x) - \Phi(x) \rvert =0,
\end{align*}
hvor $F_n$ er fordelingsfunktionen for $S_n$ og $\Phi$ er fordelingsfunktionen for en standard normal-fordeling. CLT  har stor anvendelse inden for mange områder af sandsynlighedsteori og statistik. Inden for statistik
bliver den ofte brugt i forbindelse med udledningen af asymptotiske resultater, mens den inden for sandsynlighedsteori har en stor teoretisk betydning. Siden Lyapunov viste den første generelle version af CLT i 1901 har man være interreseret i med hvilken rate konvergens foregår. Vi vil i foredraget se på Berry-Esseens Sætning, der giver konvergensraten under CLT for en følge af uafhængige identiske foredelte stokastiske variable med endeligt tredje moment. Specielt vil vi se på nogle af de gode ideer brugt til at bevise Berry-Esseens sætning. Vi vil også kigge på resultater relateret til Berry-Esseens sætning. Som forudsætning vil det være en god ide at kende notation og resultater fra Reel Analyse og Sandsynlighedsteori.
Kontaktperson: Thomas Lundsgaard Schmidt