Aarhus University Seal / Aarhus Universitets segl

Zermelo-Fraenkel-aksiomerne

Sebastian Ørsted
(Institut for Matematik, Aarhus Universitet)
Foredrag for studerende
Fredag, 29 maj, 2015, at 15:15-16:00, in Aud. D4 (1531-219)
Abstrakt:
Hvornår er et matematisk argument færdigt? Når det kan "skrives fornuftigt ned"? Hvorfor lader man sig ikke overbevise af geometriske argumenter, som ellers i oldtiden regnedes for den reneste og smukkeste bevisform? Svar: Et matematisk argument er færdigt, når argumentet \emph{principielt} kunne reduceres til slutninger fra Zermelo-Fraenkel-aksiomerne, den moderne matematiks formelle grundlag. Uden at vide det er vi alle blevet opdraget til at udforme vores argumenter således, at denne reduktion kan lade sig gøre -- i hvert fald ideelt set.

Hvis man vil forstå de grundlæggende spørgsmål i den videnskab, vi alle bedriver, er der med andre ord ingen vej uden om ZFC. Ved nærstudium af aksiomerne indser man, hvilke slutninger der er gyldige, og hvad vi kan tillade os at tage for givet forud for slutningerne. Forståelsen af aksiomerne åbner dørene til den matematiske filosofi og dens smukke behandling af de allermest fundamentale aspekter af vores verdensforståelse; men samtidigt danner den grobund for et spektrum af matematiske overvejelser, som kan være altafgørende for også den udøvende matematiker, og som er genstand for aktiv og topmoderne forskning.

De fleste har set ZFC i én eller anden forsimplet version og har fået metamatematiske foredrag om dem; langt færre har set dem skrevet ud i fuld formalitet og behandlet individuelt og detaljeret. Det er derfor det sidste, jeg vil fokusere på. Af denne grund vil det blive en smule mere teknisk end sædvanlige foredrag for studerende, og man skal være forberedt på mange kvantorer og logiske udtryk; imidlertid er der ingen vej uden om den fulde version, hvis man virkeligt vil forstå ZFC.