Gruppeteori

Beregrebet gruppe blev første gang brugt af Cayley i midten af 1850'erne. Dette skal ikke forstås på den måde, at man ikke kendte til grupper førhen, nok snarere tværtimod! Når man beskæftiger sig med matematik, opdager man hurtigt, at der mange ting, der minder meget om hinanden, selv om de måske ved første øjekast ikke ser ud til at have det mindste til fælles. Hvad har for eksempel mængden af alle hele tal til fælles med mængden af alle ombytninger af bogstaverne i alfabetet eller med mængden af alle rotationer og spejlinger af en regulær 8-kant i planen? Ved nærmere eftersyn er der fælles egenskaber, og det er disse egenskaber, der bruges i definitionen af en gruppe. En gruppe er således en abstraktion fra konkrete eksempler til noget mere generelt, der omfatter alle ovenstående eksempler (og mange flere).

Efter en række eksempler vil vi indføre gruppebegrebet. Vi vil koncentrere os om endelige grupper. Specielt vil vi diskutere, hvornår det er rimeligt at sige, at to grupper er ens, og vi vil se nærmere på, hvorvidt det er muligt at finde alle grupper med et givent antal elementer. Dette kan i princippet gøres ved håndkraft, men selv for små grupper, bliver det en meget tidskrævende opgave.

Vi vil til sidst se på grupper, hvis antal af elementer er et primtal. Disse grupper er forholdsvis lette at håndtere, og vi vil give en komplet beskrivelse af dem alle sammen.

Varighed 90-120 minutter (inklusiv opgaveregning).