Knudeteori

Knudeteori er studiet af matematiske knuder. De fleste mennesker vil nok tænke "kællingeknude" og "råbåndsknob" , når der snakkes om knudeteori, men det er ikke den slags knuder, knudeteorien beskæftiger sig med.

Forestil dig en løkke af et uendeligt tyndt og uendeligt elastisk materiale, f.eks. en ubrydelig elastik.
Hvis din elastik nu lå sammenfiltret på bordet, hvordan kan du så vide, at den kan filtres ud igen? Hvis du antager, at den, så at sige, er samlet korrekt fra fabrikken, kan det helt sikkert lade sig gøre; men hvad nu hvis den ikke var?

cirkel
En almindelig elastik

twisted cirkel
De fleste kan nok godt filtre denne elastik ud.

 

trekløver knude
Trekløver. Denne elastik kan ikke filtres ud.

figur-otte knude
Figur-otte. Denne elastik kan ikke filtres ud.

Når jeg nu siger, at knuderne på figurerne til højre ikke kan filtres ud, hvordan kan jeg så vide det? Det er ikke fordi, jeg har siddet og nørklet med dem i fem timer og ikke fået dem filtret ud, men fordi der findes strengt matematiske argumenter for, hvorfor de ikke kan.

Anvendelser af knudeteori

Knudeteori finder anvendelse indenfor bla. moderne fysik og molekylærbiologi. Fysikere vil gerne have en fire-dimensional teori, der beskriver universet. Det har indtil nu vist sig yderst vanskeligt at udarbejde en sådan teori, og der forskes derfor i forenklede tre-dimensionale versioner. Knuder har en tæt forbindelse til teorien om krumme 3-dimensionale rum og spiller derfor en vigtig rolle i forståelsen af rummets natur.
I molekylærbiologi undersøger man bla., hvordan enzymer arbejder med DNA-strenge. Under celledeling spaltes en DNA-streng i to kopier, af enzymer, der hver især arbejder på sin lille del af strengen. Det er et under, at de to kopier ikke er aldeles sammenfiltrede og umulige at skille ad. Hvordan naturen løser dette er os en gåde, og der forskes i øjeblikket på at forstå dette, af biokemikere såvel som af matematikere.

Om foredraget

I dette foredrag kommer vi ind på, hvordan man overhovedet kan definere en knude rent matematisk. Ydermere skal vi have udviklet et sprog, som gør det muligt at formulere og løse de problemer og spørgsmål, der måtte rejse sig om matematiske knuder. Altså spørgsmål om hvorvidt de er løselige eller mere generelt, hvorvidt to knuder er ens.

Helt konkret vil vi se på Reidemeister-flytninger og forskellige knudeinvarianter. Herunder vil der blive lagt vægt på trefarvning, som kan bruges til at bevise at bla. trekløveren ikke kan løses op.

Grundet uafhængighed af andet end matematisk interesse, er foredraget velegnet til både 2. og 3.g-elever med matematik som valgfag.

Foredraget kan vare 90 minutter uden (eller med minimal-) opgaveregning; eller 120 minutter med opgaver og øvelser.