Aarhus University Seal / Aarhus Universitets segl

Konvekse Legemer, Indre Volumina og Støttemål

Astrid Kousholt
Lectures for students by students
Friday, 22 November, 2013, at 14:30-15:30, in Aud. G2 (1532-122)
Abstract:

I foredraget skal vi først studere rummet af konvekse og kompakte delmængder af $ \mathbb{R}^n $, herunder give rummet en passende metrik. Herefter skal vi forsøge at beskrive geometriske egenkaber af konvekse og kompakte mængder i $ \mathbb{R}^n $.

I 1840 viste den schweiziske matematiker Jacob Steiner, at for en konveks og kompakt delmængde $ K $ af $ \mathbb{R}^2 $ eller $ \mathbb{R}^3 $ er lebesguemålet af parallelmængden $ K + \varepsilon B^n $ et polynomium i $ \varepsilon $,
\begin{equation*}
\lambda^n(K + \varepsilon B^n)=\sum_{j=0}^{n} \varepsilon^{d-j} \kappa_{d-j} V_j(K),
\end{equation*}
hvor $ \kappa_{j}=\lambda^j(B^j) $ og $ n=2,3 $. Resultatet generaliserer til vilkårlig dimension $n$, og ud fra koefficienterne i dette polynimum defineres de indre volumina $V_0(K), \dots, V_n(K)$. De beskriver geometriske egenskaber ved $ K $, og blandt de indre volumina $ V_0(K), \dots V_n(K) $ findes både volumen og overfladearealet af $ K $. Vi skal endvidere se på en lokal udgave af Steiners formel, som giver anledning til de såkaldte støttemål. Disse beskriver ligesom de indre volumina geometriske egenskaber ved konvekse legemer, men er på grund af deres lokale konstruktion i stand til at opfange mere detaljeret information om disse.

Contact person: Thomas Lundsgaard Schmidt