Uendelighedsbegrebet

  I dette foredrag vil vi se på hvad uendelighed er for en størrelse. Faktisk er størrelser nok mere præcist, for som John Green vist formulere det i ‘En flænge i himlen’: “Nogen uendeligheder er større end andre uendeligheder”. Det viser sig at John Green har fat i noget, men at han tydeligvis ikke har forstået hvorfor. Lad mig citere efter hovedet: “Der er uendeligt mange tal mellem 0 og 1 [så vidt kan jeg gå med]. Der er 0,1 og 0,12 og 0,112 [også her er jeg enig] og uendeligt mange andre [jeg giver mig]. Selvfølgelig er der en større uendelig mængde af tal mellem 0 og 2 [protest!]”. Uendeligheder er drilske og man skal passe på med at stole på sin intuition, som eksemplet her viser - der er ikke flere tal mellem 0 og 1 end mellem 0 og 2, hvor paradoksalt det end lyder! Et af de store spørgsmål, som vi vil forsøge at besvare i dette foredrag, er, hvordan man matematisk kan vise, at der faktisk findes uendeligheder, som er større end andre. Undervej vil vi støde på mærkelige, tilsyneladende paradokser, som f.eks. et hotel, der, trods fuldt booket, kan rumme uendeligt mange flere gæster, ved en simpel omrokering. Centralt bliver desuden en introduktion begreberne tællelige og overtællelige mængder. De naturlige tal er et eksempel på en tællelig mængde, idet den kan skrives op på en (uendelig lang) liste, et tal ad gangen; 1,2,3,…. Er der så dobbelt så mange heltal som naturlige tal? Nej, de kan også skrives op på en liste: 0,1,-1,2,-2,3,…. Selv de rationale tal (som f.eks. ligger tæt på den reelle tallinje!) er tællelige. De reelle tal derimod kan ikke skrives op på en uendelig liste og har derfor en helt anden uendelig størrelse; de er det man kalder overtællelige. Foredraget kræver ingen særlige forudsætninger fra gymnasiet og egner sig derfor til alle niveauer