Aarhus University Seal

Ikke-standardanalyse og hyperreelle tal

Sebastian Ørsted
Lectures for students by students
Friday, 31 January, 2020 | 15:15–16:00 | Aud. D4 (1531-219)
Contact: Rikke Eriksen, Helene Hauschultz

Da Leibniz og Newton introducerede den matematiske analyse, tog de udgangspunkt i infinitesimaler, uendeligt små tal. Differentialkvotienten $du/dx$ opfattedes som en kvotient af infinitesimale tal, og integralet $\int f(x)\,dx$ som den uendelige sum af infinitesimalerne $f(x)\,dx$. Skønt denne tilgang blev forkastet som ustringent i 1800-tallet og erstattet med de moderne $\varepsilon$-$\delta$-definitioner, er regning med infinitesimaler stadig dominerende i fysik. Årsagen er simpel: Den virker, og den giver altid de korrekte resultater.

Dette fik i 1960'erne den amerikanske matematiker Abraham Robinson til at give infintesimalregningen et stringent grundlag og vise, at den faktisk er konsistent. I ikke-standardanalysen udvides $\mathbb{R}$ til de hyperreelle tal ${}^*\mathbb R$, et reelt lukket legeme med uendeligt store og små elementer. Her kan analysen reformuleres og behandles næsten som hos Leibniz og Newton. Ulempen er, at konstruktionen er abstrakt og hænger på Zorns Lemma; vi kan derfor ikke sige ret meget mere om infinitesimalerne, end at de findes.

Foredraget er en genudsendelse af et foredrag fra 2015.