Gergely Bérczi forklarer:

»Geometrisk Invariant Teori (GIT) blev udviklet af Mumford i 1960erne for at give en systematisk beskrivelse af kvotienter af algebraiske varieteter under virkninger af reduktive algebraiske grupper. Denne fundamentale teori blev hurtigt et uundgåeligt værktøj for matematikere og fysikere indenfor klassificeringsproblemer, og blev anerkendt med en Fields medalje i 1974. Teorien fejler dog på et fundamentalt niveau når gruppen, der virker, ikke er reduktiv. Et længere samarbejde med Frances Kirwan et al har resulteret i en udvidelse af Mumfords GIT til en bred klasse af ikke-reduktive grupper.

I artiklen 'Moment maps and cohomology of non-reductive quotients' med F. Kirwan, definerer vi moment afbildninger for ikke-reduktive gruppevirkninger og beviser at vores ikke-reduktive GIT kvotient faktisk er kanonisk: Den er diffeomorf til den symplektiske kvotient hørende til moment afbildningen. Denne opdagelse ledte til en bedre forståelse af topologien og specielt den rationelle kohomologi (Betti-tal, snitteori) af disse kvotienter.

Vores ikke-reduktive GIT giver et stærkt maskineri til at angribe gamle uløste problemer indenfor kompleks geometri, singularitetsteori og enumerativ geometri.

I artiklen ‘Non-reductive geometric invariant theory and hyperbolicity’, med Frances Kirwan, beviser vi Green-Griffiths-Lang (1985) og Kobayashi (1970) hyperbolicitets formodninger for generisk projektive hyperflader af polynomiel grad. Disse milepælsformodninger indenfor kompleks geometri, har i betydelig grad styret udviklingen af feltet de seneste 50år. De indarbejder konceptet om at varieteter med tilstrækkelige ample kanoniske bundter ikke kan indeholde holomorfe kurver.

I vores arbejde, som følger strategien brugt af Demailly, Siu, Diverio, Merker and Rousseau, reduceres hyperbolicitets problemet til snitteori af ikke-reduktive kvotienter, hvor resultaterne fra ‘Non-reductive geometric invariant theory and hyperbolicity’ udgør en effektiv beregningsmæssig værktøjskasse.«

Artiklerne er publiceret i Inventiones Mathematicae via følgende links:

• Moment maps and cohomology of non-reductive quotients
• Non-reductive geometric invariant theory and hyperbolicity