Cand.scient. Christian Schmidt forsvarede fredag den 8. maj, 2015, kl 14:00 sin ph.d.-afhandling U- and V-statistics for Ito Semimartingales ved et offentligt forsvar i Aud. D1, Institut for Matematik.

For mange dynamiske processer findes der i dag en enorm mængde data. For eksempel registreres aktiekurser hvert sekund eller endnu oftere. Typisk modelleres priserne af stokastiske processer, og det er derfor vigtigt at have matematiske værktøjer til at få så mange oplysninger som muligt ud af datene om processens struktur.

Under sine studier har Christian Schmidt undersøgt en bestemt type statistik, de såkaldte U- og V-statistikker, for at kunne vurdere de karakteristiske parametre for den underliggende stokastiske proces.

Cand.scient. Tina Kanstrup forsvarede mandag den 24. august, 2015, kl 15:15 sin ph.d.-afhandling Demazure Descent Theory ved et offentligt forsvar i Aud. G1, Institut for Matematik.

Repræsentationsteori er en klassisk matematisk disciplin. En moderne tilgang er at realisere algebraisk definerede objekter i termer af geometri. Ved at gøre denne får man adgang til en masse nye værktøjer som kan bruges til at definere nye strukturer eller studere de eksisterende. En anden tilgang er at erstatte objektet med en så-kaldt kategori fra hvilken det oprindelige objekt kan rekonstrueres. I det tilfælde hvor kategorien er af geometrisk natur giver disse to tilgangsvinkler tilsammen et kraftfuldt setup som er blevet brugt til at bevise mange dybe resultater indenfor algebra.

I løbet af hendes ph.d.-studie har Tina Kanstrup konstrueret kategoriske virkninger af algebraiske objekter (den degenerate Hecke algebra og den affine braid gruppe) på kategorier af geometrisk natur (ækvivariante afledte kategorier af kvasi-koherente knipper og af matrix faktoriseringer). Den første virkning er blevet anvendt til at løfte et kendt resultat til kategori niveau.

Cand.scient. Adam Ehlers Nyholm Thomsen forsvarede onsdag den 16. september, 2015, kl 13:15 sin ph.d.-afhandling Harish-Chandra characters of some minimal representations ved et offentligt forsvar i Aud. G2, Institut for Matematik.

I løbet af sit ph.d.-studium undersøgte Adam Ehlers Nyholm Thomsen en særlig klasse af symmetrier kendt som minimale repræsentationer. Minimale repræsentationer er interessante fordi de, i banefilosofien, er en del af byggestenene for de uendelig dimensionelle symmetrier som f.eks. er vigtige i kvantemekanik. Faktisk er de de mindste sådanne byggesten. Adam Ehlers Nyholm Thomsen studerede et særligt forhold ved de minimale repræsentationer; deres Harish-Chandra karakter.

Opdagelserne bidrager til vores forståelse af minimale repræsentationer og Harish-Chandra karakterer, specifikt bidrager de med nogle værktøjer som måske vil være brugbare til beregning af Harish-Chandra karakterer af andre symmetrier.

Cand.scient. Dennis Hasselstrøm Pedersen forsvarede fredag den 2. oktober, 2015, kl 13:15 sin ph.d.-afhandling Irreducible Quantum Group Modules with Finite Dimensional Weight Spaces ved et offentligt forsvar i Aud. F, Institut for Matematik.

I løbet af sit studie har Dennis studeret irreducible repræsentationer af kvantegrupper. Indhyldningsalgebraer for Lie algebraer er klassisk set blevet studeret meget. En kvantegruppe er en slags deformation af en indhyldningsalgebra med hensyn til en specifik deformationsparameter $q$. Når $q$ bliver sat lig med 1 får vi en klassisk indhyldningsalgebra. I repræsentationsteori er de irreducible objekter byggeblokke for alle andre objekter. Derfor er det naturligt at efterspørge en klassifikation af disse. Dennis har bevist en sådan klassifikation i tilfældet hvor vægtrummene er endelig dimensionelle. Det tilsvarende problem i det klassiske tilfælde for moduler for en semi-simpel Lie algebra blev løst for cirka 15 år siden af Fernando og Mathieu.

Klassifikationen i afhandlingen følger metoderne som Fernando og Mathieu bruger i det klassiske tilfælde men i flere tilfælde er der hindringer i kvantegruppetilfældet og nye metoder er blevet udviklet for at gennemføre klassifikationen.

Cand.scient. Jens Kristian Egsgaard forsvarede onsdag den 18. november, 2015, kl 13:15 sin ph.d.-afhandling Hitchin connections for genus 0 quantum representations ved et offentligt forsvar i Aud. D1, Institut for Matematik.

I løbet af sit ph.d.-studium har cand.scient. Jens Kristian Egsgaard forsket i topologisk kvantefeltteori (TQFT). En mangfoldighed er et bestemt type matematisk rum, der lokalt har en simpel form, men globalt kan være meget kompliceret. Mangfoldigheder kan bygges ud af andre mangfoldigheder på en måde svarende til legoklodser, og en TQFT er - groft sagt - en invariant af mangfoldigheder der kan beregnes hvis bare man kender invarianten for de enkelte byggeklodser samt hvordan disse klodser er sat sammen.

Mere præcist har Jens Kristian undersøgt de såkaldte kvanterepræsentationer af afbildningsklassegruppen af en sfære med markerede punkter, og opnået resultater om disse i to retninger: Først har han - sammen med Søren Fuglede Jørgensen - fundet en relation mellem disse kvanterepræsentationer og en naturlig repræsentation defineret på homologien af en forgrenet overlejring af sfæren, og brugt denne til at bevise AMU-formodningen for en uendelig familie af pseudo-Anosov afbildningsklassegrupper.

Dernæst har han vist at kvanterepræsentationerne kan beregnes ved brug af den såkaldte Hitchin-konnektion der identificerer kvantiseringer af et bestemt modulirum med hensyn til forskellige komplekse strukturer; dette udvider et resultat af Laszlo omhandlende lukkede flader af genus mindst 3.

Cand.scient. Britta Anker Bak forsvarede fredag den 20. november, 2015, kl 09:15 sin ph.d.-afhandling High-dimensional classification ved et offentligt forsvar i Aud. G1, Institut for Matematik.

Britta Bak har i sin ph.d afhandling beskæftiget sig med statistiske metoder i situationer, hvor man eksempelvis måler på titusindvis af gener i en lille gruppe bestående af kræftpatienter og en lille kontrolgruppe, og efterfølgende ønsker at afgøre, hvilke gener der afviger mellem de to grupper. Metoderne vil kunne bruges i mange forskellige situationer med få måleresultater og mange variable, der bliver mere fremtrædende med fremkomsten af Big Data.

Brittas arbejde har især angået resultater af teoretisk karakter, der er med til at retfærdiggøre brugen af metoderne. Særligt har hun haft fokus på metoder, der kan håndtere ubalancerede datasæt, hvor mere traditionelle tilgange ofte ikke virker tilfredsstillende. Dette afspejler virkeligheden, hvor det er sjældent, at fx antallet af syge og raske individer er ens.

Cand.scient. Martin Mygind Jensen forsvarede onsdag den 9. december, 2015, kl 13:15 sin ph.d.-afhandling Invariant Theory of Restricted Cartan Type Lie Algebras ved et offentligt forsvar i Aud. D1, Institut for Matematik.

Lie grupper (opkaldt efter den norske matematiker Sophus Lie) er matematiske objekter som bliver brugt til at beskrive symmetrier i alverdens fysiske systemer. Til enhver Lie gruppe kan man associere et algebraisk objekt kaldet en Lie algebra, defineret over de komplekse eller reelle tal. Der er dog intet der afholder os fra at definere Lie algebraer over mere eksotiske talsystemer, som opfører sig som R eller C med den væsentlige undtagelse at 1 lagt til sig selv et endeligt antal gange giver 0! Sådanne talsystemer kaldes ‘legemer af positiv karakteristik’.

Martin Mygind studerer i sin afhandling en vigtig klasse af Lie algebraer over legemer af positiv karakteristik kaldet ‘restringerede Lie algebraer af Cartan type’. Disse er simple Lie algebraer, hvilket groft sagt betyder at de ikke kan opsplittes i mindre dele, og de opfører sig meget anderledes end deres komplekse modparter. Dette viser sig i flere af de resultater Martin Mygind beviser i afhandlingen. Mest bemærkelsesværdigt er der ingen ikke-trivielle invarianter i den universelle indhyldningsalgebra og den symmetriske algebra af en Lie algebra af Cartan type, under virkningen af automorfigruppen.