Cand.scient. José Ulises Márquez Urbina forsvarede onsdag den 27. januar, 2016, kl 13:00 sin ph.d.-afhandling Brownian semi-stationary processes, turbulence and smooth processes ved et offentligt forsvar i Aud. G2, Institut for Matematik.
Under sine studier har Ulises Marquez undersøgt brugen af Brownian semi-stationary (BSS) processer til modellering af turbulente flows. Turbulens, som videnskabeligt begreb, bruges til at beskrive forskellige komplicerede og uforudsigelige bevægelser af en væske. Disse komplekse bevægelser er svære at modellere ud fra fundamentale fysiske love, hvilket derfor har gjort det nødvendigt at udvikle alternative modeller i forsøget på at fange nogle af hovedaspekterne af de turbulente bevægelser. Baseret på empiriske data har Ulises vist, at BSS processerne er i stand til at reproducere hovedelementerne af de turbulente flows. BSS processerne er en slags tilfældig proces, som tidligere var introduceret som en potentiel model for turbulens. Ulises har ligeledes analyseret en række matematiske egenskaber ved BSS processerne med et ønske om bedre at forstå, hvorfor processerne synes at genskabe de temporale turbulente dynamikker.
Cand.scient. Niccolo Skovgård Poulsen forsvarede fredag den 15. april, 2016, kl 13:00 sin ph.d.-afhandling The Universal Moduli Space of pairs of a Riemann surface and a Holomorphic Vector Bundle and Its Hitchin Connection ved et offentligt forsvar i Aud. Da, Institut for Matematik.
I løbet af sit ph.d.-studium har cand.scient. Niccolo Skovgård Poulsen forsket i moduli rummet af par af en Riemann flade og et holomorft vektorbundt. Moduli rummet parametriserer geometriske strukture. I dette tilfælde ser vi på overfladen af en donut med to eller flere huller. De to strukturer vi parametriserer er speciel klasse af afstands funktioner (Riemann flader) og linear rum til hvert punkt på fladen (holomorft vektor bunder). Hvert punkt i moduli rummet repræsenterer en Riemann flade og et holomorft vektorbundt over fladen. Vi kan, hvis vi fastholder Riemann fladen, se på de holomorfe funktioner på moduli rummet af holomorft vektorbundter. Disse funktioner definer et vektorbundt over rummet af Riemann flader. For at sammenligne de forskellige vektorbundter for forskellige Riemann flader bruger vi et objekt der hedder en Hitchin konnektion. Niccolo undersøgte hvordan man kan lave gode koordinater på moduli rummet og hvordan den lokale struktur for Hitchin konnektionen ser ud. Specielt ønskede Niccolo at forstå krumningen af Hitchin konnektionen bedre.
I Niccolo Skovgård Poulsen afhandling præsenteres to nye resultater. Sammen med hans vejleder Jørgen E. Andersen, har Niccolo konstrueret nye koordinater på moduli rummet af par af en Riemann flade og et holomorft vektorbundt. Disse koordinater ligger i forlængelse af 30 år gamle resultater af Zograf og Takhtajan. De kiggede på moduli rumment af holomorft vektorbundter over en fast Riemann flade. Det andet resultat Niccolo og Jørgen viser er at der findes en Hitchin konnektion med krumning af type (1,1) i de fleste tilfælde, dette er også hvad man forventer men det var ikke bevist tidligere.
Cand.scient. Ina Trolle Andersen forsvarede onsdag den 7. september, 2016, kl 13:15 sin ph.d.-afhandling Statistical inference for microscopy data – efficient sampling and modelling by spatial point processes ved et offentligt forsvar i Aud G2 (1532-122), Institut for Matematik.
Ina Trolle Andersen har i sin ph.d. afhandling udviklet nye statistiske metoder til at analysere data fra mikroskopi. Effektiv sampling i mikroskopi ved en minimal arbejdsindsats er vigtig for at opnå præcis kvantitativ information fra vævssnit. Et eksempel er estimering af antallet af celler in en cellepopulation bestående af millioner af celler, blot ved at tælle et par hundrede celler i intelligent udvalgte dele af snittet, der kan betragtes ved høj forstørrelse. Et centralt bidrag til hendes afhandling er et optimalt sampling-design til at håndtere manglende ekstra information. Automatisk billedanalyse af mikroskopisnit anvendes i denne procedure til at forbedre samplingspræcisionen
Ina Trolle Andersens forskning har endvidere resulteret i en ny model til at beskrive mønstre af celler, som har tendens til at klynge sig sammen. Denne model er succesfuldt anvendt på data fra knoglemarvspatologi. Modelparametrene i denne model kan anvendes som et nyt objektivt diagnostisk værktøj. Modellen er et originalt bidrag til teorien om punktprocesser og kan også anvendes indenfor andre forskningsområder.
Cand.scient. Thomas Lundsgaard Schmidt forsvarede mandag den 19. september, 2016, kl 17:00 sin ph.d.-afhandling Circle maps and C*-algebras. ved et offentligt forsvar i Koll. G4 (1532-222), Institut for Matematik.
Dynamiske systemer optræder overalt i naturvidenskaberne: Svingende penduler, aktiekurser, partikler omkring en atomkerne. Har man et system, der udvikler sig over tid, har man et dynamisk system. Vil man formalisere dette matematisk, beskriver man typisk det fysiske system som et topologisk rum, og tidsudviklingen som en kontinuert afbildning fra rummet til sig selv. De dynamiske systemer kan være yderst komplicerede, og man forsøger ofte at forstå dem gennem invarianter: Andre matematiske objekter, der giver et skyggebillede af systemet og bevarer en vis mængde information om det.
I sin ph.d.-afhandling har Thomas Lundsgaard Schmidt set på en hel særlig klasse af dynamiske systemer: Stykkevist monotone selv-afbildninger af enhedscirklen. Det særlige ved disse er, at dynamikken ikke er reversibel -- man kan groft sagt ikke skrue tidsudviklingen baglæns. Til disse systemer har Thomas tilknyttet en bestemt slags invarianter, de såkaldte C*-algebraer. Disse har en rig strukturteori og er blevet studeret gennem snart hundrede år. Målet har været at udvikle en slags 'ordbog', der gjorde det muligt at oversætte mellem dynamiske og C*-algebraiske egenskaber, og i særdeleshed undersøge de komplikationer der opstår, når dynamikken ikke er reversibel.
Cand.scient. Astrid Kousholt forsvarede mandag den 26. september, 2016, kl 13:15 sin ph.d.-afhandling Minkowski tensors. Stereological Estimation, Reconstruction and Stability Results ved et offentligt forsvar i Aud D1 (1531-113), Institut for Matematik.
Hvis man skal beskrive en rumlig struktur, kan man for eksempel starte med at angive dens volumen og overfladeareal. Fælles for disse to deskriptorer er, at de sammenfatter egenskaber ved strukturen med et enkelt tal. Ønsker man at beskrive mere komplekse egenskaber så som form og orientering, har man brug for en anden type deskriptorer. Astrid Kousholt har i sit ph.d.-forløb studeret de såkaldte Minkowski-tensorer, der for nyligt er blevet introduceret og anvendt indenfor fysikken til at beskrive avancerede geometriske egenskaber ved rumlige strukturer.
Astrid Kousholt har blandt andet udledt estimatorer for Minkowski-tensorer, der bygger på forholdsvis lidt information omkring det underliggende objekt. Endvidere har hun undersøgt, hvor megen information endeligt mange Minkowski-tensorer indeholder omkring form og herunder udviklet en algoritme, der approksimerer formen af et objekt ud fra endeligt mange Minkowski-tensorer. Forskningsresultaterne bidrager til det matematiske fundament, der understøtter brugen af Minkowski-tensorer som geometriske deskriptorer.
Cand.scient. Steffen Højris Pedersen forsvarede onsdag den 5. oktober, 2016, kl 13:00 sin ph.d.-afhandling Some results in Diophantine approximation and some approaches that do not work ved et offentligt forsvar i Aud G1 (1532-116), Institut for Matematik.
Spørgsmålet om hvor tætte reelle tal kan være på hinanden, set i forhold til størrelsen eller kompleksiteten af tallene, er det grundlæggende spørgsmål i Diofantisk approksimation, en undergren af talteori. Steffen har lavet sin ph.d. i Diofantisk approksimation, med fokus på højere dimensional algebraisk approksimation og formelle Laurent rækker, en analog til de reelle tal.
Resultaterne opnået i løbet af ph.d.-studiet udvider vores forståelse af de reelle tal, samt vores forståelse af ligheder og forskelle på de reelle tal og de formelle Laurent rækker.
Cand.scient. Simone Marzioni forsvarede mandag den 31. oktober, 2016, kl 13:00 sin ph.d.-afhandling Complex Chern-Simons Theory: Knot Invariants and Mapping Class Group Representations ved et offentligt forsvar i Brænderiet, Sandbjerg Gods, Sandbjergvej 102, 6400 Sønderborg.
Kvantetopologi er en gren inden for matematikken, der studerer invarianter, der opstår i forbindelse med beskrivelsen af en kvantefeltteori for et topologisk rum. En interessant egenskab ved kvanteinvariater er, at de kan opnås med en ’klippe og klistre’-operation af rummet, således at beregningen reduceres til mindre stykker sammen med randdata, dvs. det geometriske punkt, hvor man klipper og klistrer. Et eksempel på mindre stykker er knudekomplementer i den 3-dimensionelle sfære, som har en toroid-formet flade som rand. På grund af deres ’kvante’-karakter giver disse invariater en asymptotisk grænse for nogle af rummets klassiske observable.
Under sit ph.d.-studium har Simone Marzioni forsket i egenskaber hos den såkaldte komplekse Chern-Simons kvanteteori, der som klassisk modstykke har hyperbolsk geometri i dimension 3. På basis af J.E. Andersen og R. Kashaevs arbejde har Simone Marzoni udarbejdet en beskrivelse af invarianter af 3 rum i form af knudekomplementer og beskrevet asymptotiske egenskaber hos de mest simple eksempler, hvorved han har udbygget tidligere formodninger fremsat af Andersen og Kashaev. Sammen med sin vejleder J. E. Andersen har han også udarbejdet en beskrivelse af repræsentationer af de afbildningsklassegrupper, som er dannet ud fra teorien om flader for genus 1, dvs. hvordan teorien for toroid-formede randflader opfører sig. Det vil forhåbentlig bidrage til en fremtidig udarbejdelse af en fuldstændig beskrivelse af teorien.
Cand.scient. Sabrina Tang Christensen forsvarede fredag den 4. november, 2016, kl 14:00 sin ph.d.-afhandling Reconstruction of Topology and Geometry from Digitisations ved et offentligt forsvar i Aud. D1, Institut for Matematik.
Fra et matematisk synspunkt er der mange måder at sammenligne to objekter på: Man kan benytte geometriske egenskaber såsom størrelse, form og placering, eller man kan undersøge topologien, det vil sige de egenskaber, som bevares under alle manipuleringer, der ikke river objektet fra hinanden.
Sabrina Tang Christensens ph.d.-studier havde til formål at undersøge hvilke egenskaber for et objekt i 2D eller 3D, der kan udledes, når kun et billede af objektet er givet. Svaret afhænger af såvel dimensionen som typen af objekt og opløsningen af billedet. Når et objekt i 3D er tilstrækkeligt glat, og opløsningen opfylder en vis relation til denne glathed, har Sabrina og hendes hovedvejleder vist, at objekt og billede har samme topologi. I samarbejde med sin medvejleder har Sabrina kodet computer-algoritmer til at beregne geometriske egenskaber ved objekter i 2D fra billeder med mindre strikse krav til glatheden og vist, at algoritmerne kan bruges til at udlede geometrien af objekterne i praksis. Med disse resulter kan vi for eksempel ikke se forskel på en doughnut og et billede af en doughnut, hvis opløsningen af billedet er tilpas høj.
