Cand.scient. William Elbæk Mistegård forsvarede fredag den 20. september, 2019, kl 11 sin ph.d.-afhandling Quantum Invariants and Chern-Simons Theory ved et offentligt forsvar i Bygning 1110, lokale 223, BIRC Auditoriet, Bioinformatics Research Centre, Aarhus Universitet, C.F. Møllers Allé 8, 8000 Aarhus C.

Et af de vigtigste fundamentale problemer i matematisk fysik er at opnå en præcis matematisk forståelse af Feynman felt-integraler, som benyttes med stor succes i kvantefeltteori. I Chern-Simons teori, som er et eksempel på en matematisk feltteori i tre dimensioner, er der er nu bred enighed om, at felt-integralerne er identiske med de såkaldte kvanteinvarianter af tre-mangfoldigheder. Disse kvanteinvarianter udgør en del af en dyb matematisk struktur, som kaldes topologisk kvantefelt teori (TQFT). William Elbæk Mistegård forskede i sit Ph.d. studium i forbindelsen mellem TQFT og Chern-Simons teori og benyttede en ny lovende teori fra matematisk fysik kaldet resurgence.

William Elbæk Mistegård opnåede i samarbejde med sin vejleder fire hovedresultater. (1) I tilfældet hvor mangfoldigheden er en afbildningstorus, har kvanteinvarianten en asymptotisk ekspansion i termer af Chern-Simons invarianter. (2) I tilfældet hvor mangfoldigheden er en Seifert fibration, bestemmer Borel transformen af kvanteinvarianten Chern-Simons invarianterne, og kvanteinvarianten er bestemt af Borel transformen. (3) Alle kvanteinvarianter er givet ved en analytisk funktion, som forventes at bestemme Chern-Simons invarianterne. (4) Reshetikhin-Turaev TQFT’en tillader en dualitet og en unitaritet, som opfylder streng kompatibilitet.

Cand.scient. Dmitry Otryakhin forsvarede fredag den 27. september, 2019, kl 13 sin ph.d.-afhandling Estimation and Numerical Simulation of the Linear Fractional Stable Motion and Related Processes ved et offentligt forsvar i Aud D2 (1531.119), Institut for Matematik.

Denne afhandling omhandler en række manipulationer med såkaldte lineære fraktionelle stabile bevægelser. Dette er en klasse af sjældne stokastiske processer, der bruges til at modellere solbrist og netværkshandel. Afhandling beskriver statistiske og simuleringsrelaterede teknikker samt hvordan de implementeres som en pakke i programmeringssproget R. Der undersøges også en simuleringsalgoritme for en beslægtet klasse af stokastiske integraler - Levy-drevne glidende gennemsnit.

Cand.mag. Karen Brøcker forsvarede fredag den 4. oktober, 2019, kl 14 sin ph.d.-afhandling Justifying the evidential use of intuitive judgements in linguistics ved et offentligt forsvar i Aud D3 (1531.215), Institut for Matematik.

I løbet af sit ph.d.-studium har cand.mag. Karen Brøcker forsket i brugen af intuitive bedømmelser af sætninger som data i lingvistik.

Giver det mening at bruge sprogbrugeres intuitioner om sætninger som data i lingvistik, og i så fald hvorfor? Spørgsmålet har vakt debat i den filosofiske litteratur men har ikke været diskuteret i større omfang inden for lingvistikkens faggrænser. Karen præsenter i forsvaret de herskende holdninger til spørgsmålet fra den filosofiske litteratur og resultaterne af en spørgeskemaundersøgelse, hun har udført, hvor lingvister fik mulighed for at give deres holdninger til kende. Hun præsenterer desuden sit eget bud på, hvorfor og under hvilke forudsætninger lingvistiske intuitioner kan bruges som data i lingvistik.

Cand.scient.oecon. Mikkel Slot Nielsen forsvarede fredag den 4. oktober, 2019, kl 14:15 sin ph.d.-afhandling Continuous-time modeling using Lévy-driven moving averages ved et offentligt forsvar i Aud D2 (1531.119), Institut for Matematik.

I løbet af sit ph.d.-studium har cand.scient.oecon Mikkel Slot Nielsen forsket i forskellige typer af stokastiske systemer, som udvikler sig kontinuert i tid. Selvom aktiekurser og priser på andre aktiver ofte fremhæves som de klassiske eksempler, så vil mindre oplagte fænomener ligeledes kunne betragtes som værende stokastiske over tid som følge af målingsusikkerheder, uvished om kausale sammenhænge eller lignende, der kan forårsage en irregulær og uforudsigelig opførsel.

Mikkel har haft særlig fokus på at studere en delklasse, som kaldes Lévy-drevne glidende gennemsnit. For at afgøre hvorvidt og i givet fald hvordan denne delklasse kan bruges til at modellere et givet fænomen, er det nødvendigt at have en dybdegående forståelse for processens egenskaber. I Mikkels afhandling udledes en lang række vigtige og nyttige egenskaber ved Lévy-drevne glidende gennemsnit, og f.eks.vises det, at en stor del af dem er løsninger til en særlig klasse af såkaldte stokastiske differentialligninger. Sådanne ligninger er blandt andet meget anvendelige, når det kommer til prædiktion og simulering af fremtidige værdier af processen.

Cand.scient. Peter Skovlund Madsen forsvarede mandag den 14. oktober, 2019, kl 14:15 sin ph.d.-afhandling Semi-classical limits of large fermionic systems. A modern approach based on de Finetti theorems ved et offentligt forsvar i Aud D3 (1531.215), Institut for Matematik.

Når et kvantemekanisk system indeholder mange partikler, bliver den fulde matematiske model for systemet hurtigt kompliceret og meget regnetungt at håndtere for computere. Derfor er det nyttigt at kende til simplere modeller, som i passende forstand approksimerer den fulde model og udviser mange af de samme karakteristika.

I løbet af sit ph.d.-studium har cand.scient. Peter Skovlund Madsen undersøgt klasser af matematiske modeller, som beskriver store systemer af såkaldte fermioniske partikler (eksempelvis elektroner), med fokus på tilfældene, hvor systemet har positiv temperatur eller er udsat for et stærkt magnetfelt. Modellerne er meget generelle og kan bl.a. bruges til at beskrive store atomer og molekyler. I afhandlingen udledes approksimative modeller, som i visse parameterregimer kan bruges til at udregne grundtilstandsenergier samt partikeltætheder for grundtilstande.

Cand.scient. Helene Matilde Svane forsvarede onsdag den 30. oktober, 2019, kl 14:15 sin ph.d.-afhandling Reconstructing R-regular Objects from Trinary Digital Images ved et offentligt forsvar i Aud D4 (1531.219), Institut for Matematik.

Denne afhandling omhandler rekonstruktion af objekter fra digitale gråtonebilleder af dem. Vi forestiller os at vi laver et digitalt billede af et sort objekt på hvid baggrund ved at lægge et gitter oven på objektet og dernæst farve hver gitterfirkant en nuance af grå som svarer til hvor stor en del af gitterfirkanten, der er dækket af objektet. Derved opnår vi et digitalt gråtonebillede af objektet. Spørgsmålet er nu, hvor meget vi kan udlede om det oprindelige objekt hvis vi kun kender det digitale billede af det, især hvis det digitale billede har en dårlig opløsning. I afhandlingen præsenterer vi algoritmer til at rekonstruere en særlig type af objekter ud fra deres digitale billede.

Cand.scient. Thorbjørn Grønbæk forsvarede fredag den 22. november, 2019, kl 11:15 sin ph.d.-afhandling Limit theorems for harmonizable Lévy-driven processes and Analysis of sequential medical data ved et offentligt forsvar i Aud G2 (1532.122), Institut for Matematik.

I løbet af sit ph.d.-studium har cand.scient Thorbjørn Grønbæk forsket i sekvenser af observation, som indeholder et uforklaret, tilfældigt komponent. Dette kunne være aktiepriser, partikelbevægelser, sygdomsprogression, eller blot stien for en beruset person. Målet har været at finde forudsigelig opførsel i sekvenserne, som for eksempel efter to skridt til venstre, så går den berusede person formentlig til højre, eller efter en skarp stigning i aktieprisen, så truer et skarpt fald. Sådan opførsel er blevet studeret i to forskellige setups. I første setup studerer vi strukturen af såkaldte harmonizable processer, som har været anvendt til at modellere vandstandsniveauer af Nilen over tid. Vi beskriver hvorledes sådanne processer udvikler sig på forskellige tidsskalaer, og hvor meget disse varierer. I andet setup, studerer vi to anvendelser af sekventielt sundhedsdata. Dette dækker over elektroniske patientjournaler og medicinjournaler, som er de primære databaser for patienthistorik. Typisk anvendes disse til dokumentation, men de udnyttes sjældent til statistisk analyse. Thorbjørns resultater viser hvorledes disse kan anvendes til at understøtte kliniske beslutninger.

Cand.scient. Tue Thulesen Dahl forsvarede fredag den 22. november, 2019, kl 15:15 sin ph.d.-afhandling Knapp-Stein Operators and Fourier Transformations ved et offentligt forsvar i Aud D3 (1531.215), Institut for Matematik.

I analysen af et kvantemekanisk system indgår overvejelsen, om systemet tillader symmetrier, altså om det er muligt at ændre konfigurationen af systemet på en måde, der ikke ændrer lovene for systemet. For eksempel er systemet med en partikel translationsinvariant - der må ikke være forskel på de fysiske love for systemet lige meget, hvor det flyttes hen. I matematikken formaliseres disse overvejelser til spørgsmålet om, hvilke irreducible unitære repræsentationer en given gruppe har. 

For en semisimpel Liegruppe vides det, at en irreducibel unitær repræsentation skal findes via parabolsk induktion, der generelt ikke nødvendigvis giver en unitær repræsentation. Spørgsmålet om unitaritet er relateret til positiviteten af Knapp-Stein operatorerne. I løbet af sit ph.d.-studium har cand.scient. Tue Dahl undersøgt nogle tilfælde, hvor disse operatorer er givet som foldningsoperatorer, hvor positiviteten burde kunne bestemmes via Fouriertransformation. I det såkaldte kompakte billede, hvor transformationen altid er mulig, har han lavet nye udregninger, og i det ikke-kompakte billede, hvor Fouriertransformationen generelt ikke findes, har han forsøgt at konstruere den over Heisenberggruppen.

Cand.scient. Julie Thøgersen forsvarede onsdag den 27. november, 2019, kl 10:15 sin ph.d.-afhandling Decision and evaluation in non-life insurance mathematics ved et offentligt forsvar i Aud D1 (1531.113), Institut for Matematik.

I løbet af sit ph.d.-studium har Julie Thøgersen forsket i forskellige emner i skadeforsikringsmatematik og brugt anvendt sandsynlighedsteori som redskab hertil. Særligt har hun stillet spørgsmål ved i) om der findes en optimal måde at vælge forsikringspræmien på i forsikringsmodeller, som skaber kontrast til den klassiske tilgang, som typisk er baseret udelukkende på simple karakteristika af selve risikoen, uden hensynstagen til påvirkningen på fx efterspørgslen efter forsikring. ii) hvordan forsikringsselskaber konkurrer ved brug af præmien som instrument. iii) produktdesignet på nutidens forsikringsmarked, hvor en fast selvrisiko ofte er den eneste mulighed tilgængelig for kunden, selvom et mere fleksibelt produkt kan vises at være mere optimalt.